DIFFERENSIAL PARSIAL DALAM TERMODINAMIKA

Uraian dan contoh

Seperti telah diketahui suatu fungsi y = f(x) mempunyai satu variabel bebas x. Kalau fungsi itu dideferensialkan terhadap x simbolnya :

ϑy/ ϑx = lim ˄y / ˄x = df(x) / dx = f’(x)

Misalkan suatu fungsi y mempunyai satu variabel bebas x mempunyai persamaan :

y= 3x² + 4x -2

Fungsi turunan pertama terhadap x menjadi :

dy/dx = 6x +4

Bilangan 3 koefisien dari x², bilangan 4 koefisien dari x dan bilangan -2 adalaj bilangan-bilangan tetap. Turunan pertama dari x² dikalikan dengan koefisiennya menjadi 3. 2x = 6x dan turunan pertama dari x dikalikan dengan koefisiennya 4. 1 = 4, sedangkan turunan dari bilangan tetap adalah nol.

Dalam termodinamika sering dijumpai persamaan suatu fungsi yang mempunyai lebih dari satu variabel bebas misalnya persamaan keadaan gas ideal

Persamaan keadaan ini mempunyai lebih dari dua variabel yaitu tekanan P, volume v, dan temperatur T.

Contoh 1

Hitunglah ϑz / ϑx dan ϑz / ϑy dari fungsi z = 4x³y + x²y² + 7y⁴?

Penyelesaian :

Mula-mula variabel y dianggap sebagai bilangan konstan, maka 4y dianggap koefisien dari x³,y² dianggap sebagai koefisien dari x² dan 7y⁴ sebagai bilangan tetap.

Maka ϑz / ϑx = 12yx² + 2y²x

Untuk menghitung ϑz / ϑy variabel x dianggap sebagai bilangan konstan, maka 4x³ dianggap sebagai koefisien dari y, x² dianggap ssebagai koefisien dari y² dan bilangan 7 adalah koefisien dari y⁴.

Maka ϑz / ϑx = 4x³ + 2x² +28y³

Contoh 2

 Hitunglah ϑz / ϑx dan ϑz / ϑy dari z = x³ +4x²y -8 .

Maka akan diperoleh :

ϑz / ϑx = 3x² + 8yx dan ϑz / ϑy = 0 + 4x²-0 = 4x².

Contoh 3

Hitunglah fungsi turunan parsial dari fungsi

v = xyz + x²y – xz³ + y⁴

penyelesaian :

fungsi merupakan fungsi dari tiga variabel bebas x, y dan z. Mula-mula v dideferensialkan terhadap x, variabel y,z dianggap sebagai bilangan tetap maka,

ϑv / ϑx = yz +2yx – z³.

Kemudian v dideferensialkan terhadap y, variabel x dan z dianggap sebagai bilangan tetap, maka

ϑv / ϑy = xz + x² + 4y³

v dideferensialkan terhadap z, variabel x dan y dianggap sebagai bilangan tetap, maka

ϑv / ϑz = xy -3xz².

Sumber : diktat apit fathurohman 2008